1 Behauptung

Das arithmetische Mittel ˉx=1n∑ni=1xi minimiert die Abweichungsquadrate der xi zu einem Wert c, eben der ist das arithmetische Mittel:

arg minc∑ni=1(xi−c)2.

Mit anderen Worten: Es gibt keine andere Zahl, für die obige Summe einen kleineren Wert liefert, so die Behauptung.

Nennen wir die Summe der Abweichungsquadrate s(c)=∑ni=1(xi−c)2.

2 Beweis

s(c)=n∑i=1(xi−c)2=n∑i=1(x2i−2xic+c2)=n∑i=1x2i−n∑i=12xic+n∑i=1c2=n∑i=1x2i−2cn∑i=1xi+nc2

Ableiten und Nullsetzen, um Minimum zu finden:

s′(c)=−2n∑i=1xi+2nc=02nc=2n∑i=1xinc=n∑i=1xic=∑ni=1xin

Und c ist die Definition des arithmetischen Mittels.

Da s″(c)=2n>0, haben wir ein Minimum (kein Maximum) gefunden.

3 Quellen

Es gibt viele Orte, wo man die Ableitung nachlesen kann, z.B. diese ist nützlich.