1 Behauptung

Das arithmetische Mittel \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) minimiert die Abweichungsquadrate der \(x_i\) zu einem Wert \(c\), eben der ist das arithmetische Mittel:

\(\text{arg min}_c \sum_{i=1}^n(x_i - c)^2\).

Mit anderen Worten: Es gibt keine andere Zahl, für die obige Summe einen kleineren Wert liefert, so die Behauptung.

Nennen wir die Summe der Abweichungsquadrate \(s(c) = \sum_{i=1}^n(x_i -c)^2\).

2 Beweis

\[ \begin{aligned} s(c) &= \sum_{i=1}^n (x_i -c)^2 \\ &= \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_ic + c^2) \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n 2x_ic + \sum_{i=1}^n c^2 \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2c \sum_{i=1}^n x_i + n c^2 \end{aligned} \]

Ableiten und Nullsetzen, um Minimum zu finden:

\[ \begin{aligned} s' (c) = - 2\sum_{i=1}^nx_i + 2nc &= 0 \\ 2 nc &= 2\sum_{i=1}^n x_i \\ nc &= \sum_{i=1}^n x_i \\ c &= \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \end{aligned} \]

Und \(c\) ist die Definition des arithmetischen Mittels.

Da \(s''(c) = 2n > 0\), haben wir ein Minimum (kein Maximum) gefunden.

3 Quellen

Es gibt viele Orte, wo man die Ableitung nachlesen kann, z.B. diese ist nützlich.