1 Behauptung

Das arithmetische Mittel $\overline{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$ minimiert die Abweichungsquadrate der $x_i$ zu einem Wert $c$, eben der ist das arithmetische Mittel:

${\text{arg min}}_c{\sum }_{i=1}^n(x_i-c{)}^2$.

Mit anderen Worten: Es gibt keine andere Zahl, für die obige Summe einen kleineren Wert liefert, so die Behauptung.

Nennen wir die Summe der Abweichungsquadrate $s\left(c\right)={\sum }_{i=1}^n(x_i-c{)}^2$.

2 Beweis

$$\begin{array}{cc}s\left(c\right)& =\sum _{i=1}^n(x_i-c{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(x_i^2-2x_{i}c+c^2)\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\sum _{i=1}^{n}2x_{i}c+\sum _{i=1}^n{c}^2\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2c\sum _{i=1}^n{x}_i+n{c}^2\end{array}$$

Ableiten und Nullsetzen, um Minimum zu finden:

$$\begin{array}{cc}{s}^{\prime }\left(c\right)=-2\sum _{i=1}^n{x}_i+2nc& =0\\ 2nc& =2\sum _{i=1}^n{x}_i\\ nc& =\sum _{i=1}^n{x}_i\\ c& =\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}\end{array}$$

Und $c$ ist die Definition des arithmetischen Mittels.

Da $s^{\prime \prime }\left(c\right)=2n>0$, haben wir ein Minimum (kein Maximum) gefunden.

3 Quellen

Es gibt viele Orte, wo man die Ableitung nachlesen kann, z.B. diese ist nützlich.