library(tidyverse)1 Behauptung
Der Median \(md\) minimiert die Absolutabweichungen der \(x_i\) zu einem Wert \(c\), eben der ist Median:
\(\text{arg min}_c \sum_{i=1}^n|(x_i - c)|\).
Mit anderen Worten: Es gibt keine andere Zahl, für die obige Summe einen kleineren Wert liefert, so die Behauptung.
Nennen wir die Summe der Absolutabweichungen \(e(c) = \sum_{i=1}^n|(x_i - c)|\).
2 Beweis 1
Betrachten wir zwei reelle Zahlen, \(a < b\). Dann ist unser Ziel
\[dist(a,b) = |c - a| + |x+c|\]
Dieser Ausdruck erreicht sein Minimum wenn \(a \le c \le b\).
Das kann gezeigt werden, indem man dist für die drei Fälle berechnet:
- \(c < a\)
- \(a \le c \le b\)
- \(b < c\)
Die folgenden Abbildungen veranschaulichen diese drei Fälle.
d1 <-
tibble(
point = c("a", "c", "b"),
y = c(0, 0, 0),
x = c(0, 1, 2)
)
ggplot(d1, aes(x, y)) +
theme_minimal() +
geom_label(aes(label = point)) +
labs(title = "A")
d2 <-
tibble(
point = c("c", "a", "b"),
y = c(0, 0, 0),
x = c(0, 1, 2)
)
ggplot(d2, aes(x, y)) +
theme_minimal() +
geom_label(aes(label = point)) +
labs(title = "B")
d3 <-
tibble(
point = c("a", "b", "c"),
y = c(0, 0, 0),
x = c(0, 1, 2)
)
ggplot(d3, aes(x, y)) +
theme_minimal() +
geom_label(aes(label = point)) +
labs(title = "C")
Als nächstes betrachten wir den allgemeinen Fall mit \(n\) Beobachtungen.
Zunächst sortieren wir die Werte aufsteigend als \(s_1, s_2, \ldots, s_n\).
Aus dem kleinsten und größten Wert, \(s_1, s_n\) bilden wir ein Paar. Wie oben erläutert, ist \(dist(s_1, s_n)\) minimal wenn \(s_1 \le c \le s_n\). Wir entfernen daher die beiden Elemente \(s_1, s_n\) aus der Liste und wiederholen die Prozedur bis höchsten ein Element in unserer Liste verbleibt.
Wenn ein Element \(s_i\) übrig ist, dann ist \(c=s_i\) und \(s_i\) minimiert \(dist(c - s_i)\). Dieses Element liegt auch zwischen allen anderen Paaren.
Bei einer geraden Zahl an Elementen wird zum Schluss kein Element in der Liste übrig bleiben. Wie im oberen Fall liegt dann der Median (irgendwo) zwischen den beiden Elementen des innersten Paars und damit auch zwischen allen Paaren.
3 Beweis 2
Leiten wir \(e(c)\) ab, bekommen wir:
\(\sum_{i=1}^n \text{sign}(x_i - c)\)
Dieser Ausdruck ist genau dann Null, wenn es gleich viele positive wie negative Elemente gibt. Das passiert wenn \(c = \text{median}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\).
Dabei gibt \(\text{sign}(\cdot)\) das Vorzeichen zurück. Wir zählen also, viele Elemente größer sind als \(c\) und wie viele kleiner.
Zur Definition von \(sign\): \(\text{sign} := \frac{d |x|}{dx}\).
4 Quellen
Es gibt viele Orte, wo man die Ableitung nachlesen kann, z.B. diese ist nützlich.
5 Reproducibility
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#> setting value
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#> os macOS Big Sur/Monterey 10.16
#> system x86_64, darwin17.0
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#> date 2022-04-08
#>
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